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如圖,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,AB=DE=3,AC=2DF=4.
(1)判斷這兩個三角形是否相似并說明為什么?
(2)能否分別過A,D在這兩個三角形中各作一條輔助線,使△ABC分割成的兩個三角形與△DEF分割成的兩個三角形分別對應相似?證明你的結論.

【答案】分析:根據已知及相似三角形的判定方法進行分析即可.
解答:解:(1)不相似.(1分)
∵在Rt△BAC中,∠A=90°,AB=3,AC=4;
在Rt△EDF中,∠D=90°,DE=3,DF=2,
==

∴Rt△BAC與Rt△DFE不相似.(4分)

(2)能作如圖所示的輔助線進行分割.
證明:作∠BAM=∠E,交BC于M;作∠NDE=∠B,交EF于N.(7分)
由作法和已知條件可知△BAM∽△DEN.(8分)
∵∠BAM=∠E,∠NDE=∠B,∠AMC=∠BAM+∠B,∠FND=∠E+∠NDE,
∴∠AMC=∠FND.(9分)
∵∠FDN=90°-∠NDE,∠C=90°-∠B,
∴∠FDN=∠C.
∴△AMC∽△FND.(10分)
點評:此題考查了相似三角形的判定:①有兩個對應角相等的三角形相似;
②有兩個對應邊的比相等,且其夾角相等,則兩個三角形相似;
③三組對應邊的比相等,則兩個三角形相似.
練習冊系列答案
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22、已知,如圖,在△ABC和△EDB中,∠ACB=∠EBD=90°,點E在BC上,DE⊥AB交AB于F,且AB=ED.求證:DB=BC.

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如圖,在△ABC和△DEF中,AC∥DE,∠EFD與∠B互補,DE=mAC(m>1).試探索線段EF與AB的數量關系,并證明你的結論.

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如圖,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“AAS”證明△ABC≌△ABD,則需要加條件
∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA
∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA
,若利用“HL”證明△ABC≌△ABD,則需要加條件
BD=BC或AD=AC
BD=BC或AD=AC

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如圖,在△ABC和△ABD中,AC⊥BC,AD⊥BD,E是AB邊上的中點.則DE
=
=
CE.(填>、=、<)

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如圖,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F,AC=DF,請說明AE=BD的理由.

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