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如圖,已知Rt△ABC內(nèi)接于⊙O,AC為⊙O的直徑,EA平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,過(guò)E作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,AE、BC交于點(diǎn)D.
(1)求證:EF∥BC;
(2)若tan∠G=,EF=4,求DE的長(zhǎng).

【答案】分析:(1)連接OE交BC于M,根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OEF=90°,由圓的性質(zhì)和角平分線的定義可證明OE∥AB,所以可得∠OMB=90°,所以∠OEF=∠OMB=90°,進(jìn)而證明EF∥BC;
(2)連接OB,由題意可證明四邊形BFEM是矩形,所以BM=EF=4,由(1)可知BC∥FG,所以∠G=∠ACB,利用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義即可求出DE的長(zhǎng).
解答:(1)證明:連接OE交BC于M,
∵EF是圓的切線,
∴∠OEF=90°,
∵EA平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,
∴∠FAE=∠EAO,
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA,
∴∠FAE=∠AEO,
∴AF∥OE,
∵AC為⊙O的直徑,
∴∠ABC=90°,
∴∠ABC=∠OMB=90°,
∴∠OEF=∠OMB=90°,
∴EF∥BC;

(2)連接OB,
∵BC∥EF,
∴∠AFE=∠ABC=90°,
∵EF是切線,
∴∠MEF=90°,
四邊形BFEM是矩形,
∴FE=BM=4,
∴BC=8,
∵tan∠G=
∴tan∠ABC=
∵AB=6,∴AC=10,
∴OB=5,∴OM=3,
∴EM=2,
∵AF=AB+BF=8,
∴tan∠FAE=
∴tan∠FAE=tan∠DEM=
∵EM=2,
∴DM=1,
∴DE==
點(diǎn)評(píng):本題考查了切線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)以及矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用和銳角三角函數(shù)值,題目的綜合性很強(qiáng),難度不小.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

22、如圖,已知Rt△ABC,AB=AC,∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D,BD的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)E、F,CD=CG.
(1)請(qǐng)以圖中的點(diǎn)為頂點(diǎn)(不增加其他的點(diǎn))分別構(gòu)造兩個(gè)菱形和兩個(gè)等腰梯形.那么,構(gòu)成菱形的四個(gè)頂點(diǎn)是
B,E,D,F(xiàn)
E,D,C,G
;構(gòu)成等腰梯形的四個(gè)頂點(diǎn)是
B,E,D,C
E,D,G,F(xiàn)

(2)請(qǐng)你各選擇其中一個(gè)圖形加以證明.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知Rt△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,∠BAC=90°,AH⊥BC,垂足為D,過(guò)點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)精英家教網(wǎng)E,交⊙O于點(diǎn)F,且AE=BE.
(1)求證:
AB
=
AF

(2)若BE•EF=32,AD=6,求BD的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

5、如圖,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),PE⊥AB交BA延長(zhǎng)線于E,PF⊥AC交AC延長(zhǎng)線于F,D為BC中點(diǎn),連接DE,DF.求證:DE=DF.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知Rt△ABC中,∠CAB=30°,BC=5.過(guò)點(diǎn)A做AE⊥AB,且AE=15,連接BE交AC于點(diǎn)P.
(1)求PA的長(zhǎng);
(2)以點(diǎn)A為圓心,AP為半徑作⊙A,試判斷BE與⊙A是否相切,并說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知Rt△ABC中∠A=90°,AB=3,AC=4.將其沿邊AB向右平移2個(gè)單位得到△FGE,則四邊形ACEG的面積為
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同步練習(xí)冊(cè)答案
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