Question

在一次活動課中，老師請每位同學自己用紙板做一個如圖所示的有蓋的長方體的紙盒，長方體的長、寬、高分別為acm、b cm、c cm．小楊在展示自己做的紙盒時，告訴同學們說：“我做的紙盒的長、寬、高都是正整數，且經測量發現它們滿足a（b-c）=3，bc=ab+ac-7”．請同學們算一算，做一個這樣的紙盒需要多少平方厘米的紙板（接縫不算）？

Answer 1

【答案】分析：首先由a（b-c）=3，且a，b，c均為正整數，即可求得或，然后分別將它們代入bc=ab+ac-7，即可求得a，b，c的值，再由長方體的表面積為：2（ab+ac+bc），即可求得做一個這樣的紙盒需要多少平方厘米的紙板．
解答：解：∵a（b-c）=3，且a，b，c均為正整數，
∴或，
即：或，
①當時，把a=1，b=c+3分別代入bc=ab+ac-7中，得：
（c+3）c=c+3+c-7，
整理得：c²+c+4=0，此方程無實數根．
②當時，把a=3，b=c+1分別代入bc=ab+ac-7中，得：（
c+1）c=3（c+1）+3c-7，
整理得：c²-5c+4=0，
解得c=1或c=4．
∴或，
故長方體的表面積為：
2（ab+ac+bc）=2×（3×2+3×1+2×1）=22（cm²）或2（ab+ac+bc）=2×（3×5+3×4+5×4）=94（cm²）．
∴做一個這樣的紙盒需要22cm²或94cm²的紙板．
點評：此題考查了正整數的應用，一元二次方程的解法以及長方體的表面積的求解方法等知識．解此題的關鍵是注意分類討論思想與方程思想的應用．