Question

A題：載著“點燃激情，傳遞夢想”的使用，6月2日奧運圣火在古城荊州傳遞，途經A、B、C、D四地、如圖，其中A、B、C三地在同一直線上，D地在A地北偏東45°方向，在B地正北方向，在C地北偏西60°方向、C地在A地北偏東75°方向、B、D兩地相距2km．問奧運圣火從A地傳到D地的路程大約是多少？（最后結果保留整數，參考數據：）






B題：小唐同學正在操場上放風箏，風箏從A處起飛，幾分鐘后便飛達C處，此時，在AQ延長線上B處的小宋同學，發現自己的位置與風箏和旗桿PQ的頂點P在同一直線上．
（1）已知旗桿高為10米，若在B處測得旗桿頂點P的仰角為30°，A處測得點P的仰角為45°，試求A、B之間的距離；
（2）此時，在A處背向旗桿又測得風箏的仰角為75°，若繩子在空中視為一條線段，求繩子AC約為多少？（結果可保留根號）

Answer 1

解：A、過點B作AD邊上的高BF；過點B作CD邊上的高BG．
∵C地在A地北偏東75°方向，
∴∠DAC=75°-45°=30°，
∴∠ABF=90°-30°=60°．
又∵DB為南北方向，
∴∠ABD=180°-75°=105°，
∴∠FBD=105°-60°=45°，
又∵DB∥AE，
∴∠DBC=75°，
∴∠PCB=180°-75°=105°，
∴∠BCD=105°-60°=45°．
∵DB∥AE，
∴∠BDC=∠DCP=60°，
∴∠DBG=90°-60°=30°，
又∵DB∥AE，
∴DG=1，
∴BG==，
∴CG=•tan45°=，
BC==，
∵DB=2，
∴∠FBD=105°-60°=45°，
∴FB=2×sin45°=，
∴∠DAC=75°-45°=30°，
∴AB=2FB=2，
∴AB+BC+CG+GD=2+++1≈8千米．

B、（1）由題意可知，∠PBQ=30°，∠PAQ=45°，PQ⊥AB，PQ=10m，
在Rt△APQ中，∵∠PAQ=45°，∴PQ=AQ=10m，
在Rt△BPQ中，∵∠PBQ=30°，∴BQ==10m，
∴AB=米．
（2）過點P作AC邊上的高交AC于E，
由（1）可知，△PAQ是等腰直角三角形，∴AP==10m，
∵∠PAQ=45°，∠CAD=75°，∴∠PAC=180°-45°-75°=60°，
∴∠APE=90°-60°=30°，AE=AP=5m，PE=AP•=10×=5m，
在Rt△PEC中，∵∠EPC=180°-∠BPQ-∠APQ-∠APE=180°-60°-45°-30°=45°，
∴PE=CE=5m，
∴AC=AE+CE=m；
分析：A、過點B作AD邊上的高F；過點B作CD邊上的高BG，把斜三角形轉化為兩個特殊的直角三角形（含30°和45°）來解答；
B、過點P作AC邊上的高，把含30°、45°的斜三角形和含45°、60°的斜三角形轉化為兩個特殊的直角三角形解答．
點評：此題比較復雜，解答此類題目的關鍵是將三角形轉化為含特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函數值或勾股定理解答．