Question

已知：如圖，在△ABC中，M是邊AB的中點，D是邊BC延長線上一點，，DN∥CM，交邊AC于點N．
（1）求證：MN∥BC；
（2）當∠ACB為何值時，四邊形BDNM是等腰梯形？并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題又有兩種證法：
證法一：取邊BC的中點E，連接ME，利用已知條件求證△MEC≌△NCD．可得CM=DN，又利用CM∥DN，
可證四邊形MCDN是平行四邊形即可．
證法二：延長CD到F，使得DF=CD，連接AF．由，CD=DF，可得BC=CF，再利用MC∥DN，可得ND∥AF，再利用CD=DF，可證MN∥BC即可．
（2）根據MN∥BD，BM與DN不平行，可得四邊形BDNM是梯形，再利用∠ACB=90°，可得CM=BM=AM，然后即可證明四邊形BDNM是等腰梯形．
解答：（1）證法一：取邊BC的中點E，連接ME．
∵M是邊AB的中點，
∴BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．
∴∠MEC=∠NCD．
∵，∴CD=CE．
∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．
∴△MEC≌△NCD．
∴CM=DN．
又∵CM∥DN，
∴四邊形MCDN是平行四邊形．
∴MN∥BC．
證法二：延長CD到F，使得DF=CD，連接AF．
∵，CD=DF，
∴BC=CF．
∵BM=AM，
∴MC∥AF．
∵MC∥DN，
∴ND∥AF．
又∵CD=DF，
∴CN=AN．
∴MN∥BC．

（2）答：當∠ACB=90°時，四邊形BDNM是等腰梯形．
證明：∵MN∥BD，BM與DN不平行，
∴四邊形BDNM是梯形，
∵∠ACB=90°
M是邊AB的中點，
∴BM=AM，
∵CM是Rt△ABC的中線，
∴CM=BM=AM，
∵CM=DN，
∴BM=DN，
∴四邊形BDNM是等腰梯形．
點評：此題主要考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的性質等知識點，綜合性較強，是一道典型的題目．