Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC=10cm，BD⊥AC于點D，BD=8cm．點M從點A出發，沿AC的方向勻速運動，同時直線PQ由點B出發，沿BA的方向勻速運動，運動過程中始終保持PQ∥AC，直線PQ交AB于點P、交BC于點Q、交BD于點F．連接PM，設運動時間為t秒（0＜t≤5）．線段CM的長度記作y甲 ， 線段BP的長度記作y乙 ， y甲和y乙關于時間t的函數變化情況如圖所示．

（1）由圖2可知，點M的運動速度是每秒 cm，當t為何值時，四邊形PQCM是平行四邊形？在圖2中反映這一情況的點是；
（2）設四邊形PQCM的面積為ycm2 ， 求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使S四邊形PQCM= S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；
（4）連接PC，是否存在某一時刻t，使點M在線段PC的垂直平分線上？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：2；E（ ， ）
（2）

解：∵PQ∥AC，

∴△PBQ∽△ABC，

∴△PBQ為等腰三角形，PQ=PB=t，

∴ ，即 ，

解得：BF= t，

∴FD=BD﹣BF=8﹣ t，

又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t，

∴y= （PQ+MC）FD= （t+10﹣2t）（8﹣ t）= t2﹣8t+40

（3）

解：存在；

∵S△ABC= ACBD= ×10×8=40，

當S四邊形PQCM= S△ABC時，y= t2﹣8t+40=20，

解得：t=10﹣5 ，或t=10+5 （不合題意，舍）；

即：t=10﹣5 時，S四邊形PQCM= S△ABC

（4）

解：假設存在某一時刻t，使得M在線段PC的垂直平分線上，則MP=MC，

過M作MH⊥AB，交AB與H，如圖所示：

∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°，

∴△AHM∽△ADB，

∴ ，

又∵AD=6，

∴ ，

∴HM= t，AH= t，

∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t，

在Rt△HMP中，MP2=（ t）2+（10﹣ t）2= t2﹣44t+100，

又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2，

∵MP2=MC2，

∴ t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2，

解得 t1= ，t2=0（舍去），

∴t= s時，點M在線段PC的垂直平分線上．

【解析】解：（1）由圖2得，點M的運動速度為2cm/s，PQ的運動速度為1cm/s，
∵四邊形PQCM是平行四邊形，則PM∥QC，
∴AP：AB=AM：AC，
∵AB=AC，
∴AP=AM，即10﹣t=2t，
解得：t= ，
∴當t= 時，四邊形PQCM是平行四邊形，此時，圖2中反映這一情況的點是E（ ， ）
所以答案是：2，E（ ， ）．
【考點精析】通過靈活運用相似三角形的應用，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解即可以解答此題．