Question

兩個大小相同且含30°角的三角板ABC和DEC如圖①擺放，使直角頂點重合．將圖①中△DEC繞點C逆時針旋轉30°得到圖②，點F、G分別是CD、DE與AB的交點，點H是DE與AC的交點．
（1）不添加輔助線，寫出圖②中所有與△BCF全等的三角形；
（2）將圖②中的△DEC繞點C逆時針旋轉45°得△D₁E₁C，點F、G、H的對應點分別為F₁、G₁、H₁，如圖③．探究線段D₁F₁與AH₁之間的數量關系，并寫出推理過程；
（3）在（2）的條件下，若D₁E₁與CE交于點I，求證：G₁I=CI．

Answer 1

【答案】分析：（1）觀察圖形，根據全等三角形的判定定理，即可得與△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH；
（2）利用SAS即可判定△AF₁C≌△D₁H₁C，則可得對應線段相等，即可求得D₁F₁=AH₁；
（3）首先連接CG₁，利用AAS即可證得△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．然后可證得△CG₁F₁≌△CG₁H₁．又由平行線的性質即可求得答案．
解答：解：（1）圖②中與△BCF全等的有△GDF、△GAH、△ECH．

（2）D₁F₁=AH₁，
證明：∵在△AF₁C與△D₁H₁C中，
，
∴△AF₁C≌△D₁H₁C．
∴F₁C=H₁C，又CD₁=CA，
∴CD₁-F₁C=CA-H₁C．
即D₁F₁=AH₁；

（3）連接CG₁．
在△D₁G₁F₁和△AG₁H₁中，
∵，
∴△D₁G₁F₁≌△AG₁H₁．
∴G₁F₁=G₁H₁，
又∵H₁C=F₁C，G₁C=G₁C，
∴△CG₁F₁≌△CG₁H₁．
∴∠1=∠2．
∵∠B=60°，∠BCF=30°，
∴∠BFC=90°．
又∵∠DCE=90°，
∴∠BFC=∠DCE，
∴BA∥CE，
∴∠1=∠G₁CE，
∴∠2=∠G₁CE，
∴G₁I=CI．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質以及旋轉的性質，平行線的性質等知識．此題綜合性較強，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，準確構造輔助線給解題會帶來事半功倍的效果．