Question

（2013•齊河縣一模）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一點，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F，G．
（1）求證：

EG

AD

=

CG

CD

；
（2）FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由比例線段可知，我們需要證明△ADC∽△EGC，由兩個角對應相等即可證得；
（2）FD與DG垂直，由矩形的判定定理可知，四邊形AFEG為矩形，根據矩形的性質及相似三角形的判定可得到△AFD∽△CGD，從而不難得到結論．

解答：（1）證明：在△ADC和△EGC中，
∵∠ADC=∠EGC，∠C=∠C，
∴△ADC∽△EGC，
∴

EG

AD

=

CG

CD

；

（2）答：FD與DG垂直，
證明：在四邊形AFEG中，
∵∠FAG=∠AFE=∠AGE=90°，
∴四邊形AFEG為矩形．
∴AF=EG．
∵

EG

AD

=

CG

CD

，
∴

AF

AD

=

CG

CD

，
又∵△ABC為直角三角形，AD⊥BC，
∴∠FAD=∠C=90°-∠DAC，
∴△AFD∽△CGD．
∴∠ADF=∠CDG．
∵∠CDG+∠ADG=90°，
∴∠ADF+∠ADG=90°．
即∠FDG=90°．
∴FD⊥DG．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質，①如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；②如果兩個三角形的兩條對應邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩個對應角相等，那么這兩個三角形相似．相似三角形的對應邊的比相等，對應角相等．