Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB的中點，點O是線段AE上的一個動點（不與A、E重合），以O為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點M，過點M作⊙O的切線交DC于點N，連接OM、ON、BM、BN．記△MNO、△AOM、△DMN的面積分別為S1、S2、S3，則下列結論不一定成立的是（ ）

A．S1＞S2+S3 B．△AOM∽△DMN C．∠MBN=45° D．MN=AM+CN

Answer 1

【答案】A．

【解析】

試題（1）如答圖1，過點M作MP∥AO交ON于點P，

∵點O是線段AE上的一個動點，

當AM=MD時，S梯形ONDA=（OA+DN）ADS△MNO=MPAD，

∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，

∴S1=S2+S3，∴不一定有S1＞S2+S3. 故A不一定成立.

（2）∵MN是⊙O的切線，∴OM⊥MN，

又∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°.∴∠AOM=∠DMN.

在△AMO和△DMN中，∵，∴△AMO∽△DMN．故B成立.

（3）如答圖2，過點B作BP⊥MN于點P，

∵MN，BC是⊙O的切線，

∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB.

∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB. ∴∠AMB=∠PMB.

在Rt△MAB和Rt△MPB中，∵，

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）.∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC.

在Rt△BPN和Rt△BCN中，，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）.

∴PN=CN，∠PBN=∠CBN. ∴∠MBN=∠MBP+∠PBN.

∴MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立.

綜上所述，A不一定成立.

故選A．