Question

如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關系為______，數量關系為______．
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結論是否仍然成立，為什么？
（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°點D在線段BC上運動．試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CF⊥BC（點C、F重合除外）？并說明理由．

Answer 1

（1）①CF⊥BD，CF=BD…（2分）
故答案為：垂直、相等．
②成立，理由如下：…（3分）
∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD與△CAF中，
∵

BA=CA ∠BAD=∠CAF AD=AF

∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分）
∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD…（7分）

（2）當∠ACB=45°時可得CF⊥BC，理由如下：…（8分）
過點A作AC的垂線與CB所在直線交于G…（9分）
則∵∠ACB=45°
∴AG=AC，∠AGC=∠ACG=45°
∵AG=AC，AD=AF，
∵∠GAD=∠GAC-∠DAC=90°-∠DAC，∠FAC=∠FAD-∠DAC=90°-∠DAC，
∴∠GAD=∠FAC，
∴△GAD≌△CAF（SAS）…（10分）
∴∠ACF=∠AGD=45°
∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°
∴CF⊥BC…（12分）