Question

O是邊長為a的正多邊形的中心，將一塊半徑足夠長，圓心角為α的扇形紙板的圓心放在O點處，并將紙板繞O點旋轉．
（1）若正多邊形為正三角形，扇形的圓心角α=120°，請你通過觀察或測量，填空：
①如圖1，正三角形ABC的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為________；
②如圖2，正三角形ABC的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為________；
（2）若正多邊形為正方形，扇形的圓心角α=90°時，①如圖3，正方形ABCD的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為________；
②如圖4，正方形ABCD的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為多少？并給予證明；
（3）若正多邊形為正五邊形，如圖5，當扇形紙板的圓心角α為________時，正五邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度仍為定值a．
（4）一般地，將一塊半徑足夠長的扇形紙板的圓心放在邊長為a的正n邊形的中心O點處，并將紙板繞O點旋轉．當扇形紙板的圓心角為________時，正n邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為定值a．

Answer 1

解：（1）①a；（1分）
②a；（2分）

（2）①a；（3分）
②正方形ABCD的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為a．（4分）
理由：
證明：連接OA、OD
∵四邊形ABCD是正方形，點O為中心
∴OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°
又∵∠AOD=∠POQ=90°
∴∠AOM+∠AOQ=90°∠DON+∠AOQ=90°
∴∠AOM=∠DON
∴△AOM≌△DON∴AM=DN
∴AM+AN=DN+AN=AD=a（8分）

（3）∵正五邊形的內角為（5-2）×180°÷5=72°
∴當扇形紙板的圓心角α為72°時，正五邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度仍為定值a．（10分）

（4）∵正多邊形的中心角為，
∴當扇形紙板的圓心角為時，正n邊形的邊被扇形紙板覆蓋部分的總長度為定值a．（12分）
分析：（1）此類題目往往是圖形的位置變化但結論不變；
（2）連接OA、OD，根據四邊形ABCD是正方形，點O為中心得到OA=OD，∠OAM=∠ODN=45°再求得∠AOM=∠DON，從而證明△AOM≌△DON后得到AM=DN得到AM+AN=DN+AN=AD=a；
（3）利用正多邊形的內角的求法求得正五邊形的內角度數即可；
（4）圓心角等于正多邊形的中心角的度數時候有上述結論．
點評：本題考查了正多邊形的計算，應利用全等把所求的線段和面積轉換為容易算出的線段和圖形的面積，注意類比方法的運用．