【題目】如圖，
是等邊三角形
內一點，將線段
繞點
順時針旋轉60°得到線段
，連接
．若
，
，
，則四邊形
的面積為___________．
【答案】6+4
【解析】
連結PP′，如圖，由等邊三角形的性質得到∠BAC=60°，AB=AC，由旋轉的性質得到CP=CP′=4，∠PCP′=60°，得到△PCP′為等邊三角形，求得PP′=PC=4，根據全等三角形的性質得到AP′=PB=5，根據勾股定理的逆定理得到△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，根據三角形的面積公式即可得到結論．
連結PP′，如圖，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵線段CP繞點C順時針旋轉60°得到線段CP'，
∴CP=CP′=4，∠PCP′=60°，
∴△PCP′為等邊三角形，
∴PP′=PC=4，
∵∠ACP+∠BCP=60°，∠ACP+∠ACP′=60°，
∴∠BCP=∠ACP′，且AC=BC，CP=CP′
∴△BCP≌△ACP′（SAS），
∴AP′=PB=5，
在△APP′中，∵PP′2=42=16，AP2=32=9，AP′2=52=25，
∴PP′2+AP2=AP′2，
∴△APP′為直角三角形，∠APP′=90°，
∴S四邊形APCP′=S△APP′+S△PCP′=
AP×PP′+
×PP′2=6+4 ，
故答案為：6+4．
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【題目】如圖，正方形
中，
是對角線
上一個動點，連結
，過
作
，
，
，
分別為垂足．
（1）求證：
；
（2）①寫出
、
、三條線段滿足的等量關系，并證明；②求當
，
時，
的長
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【題目】如圖，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分線BE、DF分別交邊AD、BC于點E、F．
（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；
（2）當∠ABE為多少度時，四邊形BEDF是菱形？請說明理由．
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【題目】在菱形
中，
，點
是射線
上一動點，以
為邊向右側作等邊
，點
的位置隨著點的位置變化而變化.
（1）如圖1，當點在菱形內部或邊上時，連接
，
與的數量關系是______，與
的位置關系是______；
（2）當點在菱形外部時，（1）中的結論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理）；
（3）如圖4，當點在線段的延長線上時，連接
，若
，
，求四邊形
的面積.
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【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE，DF分別是△ABD和△ACD的高，得到下列四個結論：
①AD和EF互相垂直平分；
②AE=AF；
③當∠BAC=90°時，AD=EF；
④DE是AB的垂直平分線．
其中正確的是_________________(填序號)．
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【題目】如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點P為弧AD上任意一點（不與點A和D重合），PQ⊥OD于點Q，點I為△OPQ的內心，過O、I和D三點的圓的半徑為r，則當點P在弧AD上運動時，求r的值．
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【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，P是BA延長線上一點，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足為D
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：
；
（3）過點A作AE∥PC交⊙O于點E，交CD于點F，連接BE，若sin∠P＝
，CF＝5，求BE的長．
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【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是BC邊所在直線上一動點（不與點B、C重合），過點B作BF⊥DE，交射線DE于點F，連接CF．
（1）如圖，當點E在線段BC上時，∠BDF=α．
①按要求補全圖形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判斷線段 BF，CF，DF之間的數量關系，并證明．
（2）當點E在直線BC上時，直接寫出線段BF，CF，DF之間的數量關系，不需證明．
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