Question

如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足為D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC，垂足為E，與CD交于F，H是BC邊的中點，F是CD邊的中點，連接DH與BE交于點G，則下列結論：
①BF=AC；②CE=BF；③S_{四邊形ADGE}=S_{四邊形GHCE}；④CE=BG，
其中正確的結論有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：推出BD=DC，證△BDF≌△CDA，推出BF=AC，證△ABE≌△CBE推出CE=AE，即可判斷①②，推出△ABE的面積和△CBE的面積相等，四邊形ADGE的面積＜四邊形EGHC的面積，即可判斷③，過F作FM垂直BC交BC于M，求出△BDC是等腰直角三角形，推出FM是△CDH的中位線，得出FM垂直平分HC，求出BG：BF=1：=，CE：BF=，得出BG：CE=4：3，即可判斷④．
解答：
解：∵CD⊥AB，BF⊥AC，
∴∠BEC=∠BDC=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=45°=∠ABC，
∴BD=DC，
∵∠BDC=∠CEF=90°，∠DFB=∠EFC，
∴由三角形內角和定理得：∠DBF=∠ACD，
∵在△BDF和△CDA中

∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，∴①正確；
∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB，
∵在△ABE和△CBE中

∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴CE=AE=AC，
∵AC=BF，
∴CE=BF，∴②正確；
∵BE⊥AC，CE=AE，
∴△ABE的面積和△CBE的面積相等，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，
∴FD=FM，
∴DG=FM，
從圖可知，FM＞GH，
∴DG＞GH，
∴△BGD的面積大于△BHG的面積，
即四邊形ADGE的面積＜四邊形EGHC的面積，∴③錯誤；

過F作FM垂直BC交BC于M，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵H是BC邊的中點，
∴DH垂直平分BC，
∵F是CD的中點，FM⊥BC，
∴FM是△CDH的中位線，
∴FM垂直平分HC，
則BG：BF=1：=，CE：BF=，所以BG：CE=4：3，故④錯誤；
故選B．
點評：本題考查了等腰三角形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的面積等知識點的綜合運用，難度偏大．