Question

（1）求證：81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；
（2）證明：當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，2（2n+1）形式的數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差；
（3）計(jì)算：

(24+ 1 4 )(44+ 1 4 )(64+ 1 4 )(84+ 1 4 )(104+ 1 4 )

(14+ 1 4 )(34+ 1 4 )(54+ 1 4 )(74+ 1 4 )(94+ 1 4 )

．

Answer 1

分析：（1）首先將81⁷-27⁹-9¹³代數(shù)式轉(zhuǎn)化成底數(shù)為3的冪，提取公因式3²⁶，此時(shí)出現(xiàn)差5，再將3²⁶分解成3²⁴與9的乘積，問(wèn)題得解；
（2）直接證明較難，因而采用反證法．假設(shè)2（2n+1）能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差2（2n+1）=a²-b²．再分別就a+b、a-b是偶數(shù)
討論，與其已知相反；
（3）觀察

(24+ 1 4 )(44+ 1 4 )(64+ 1 4 )(84+ 1 4 )(104+ 1 4 )

(14+ 1 4 )(34+ 1 4 )(54+ 1 4 )(74+ 1 4 )(94+ 1 4 )

式子，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：均包含有x4+

1

4

的形式，因而對(duì)其進(jìn)行因式分解得(x2-x+

1

2

)(x2+x+

1

2

)．將此規(guī)律運(yùn)用到原式中，通過(guò)對(duì)分子、分母約分化簡(jiǎn)，最后求出原式的值．

解答：解：（1）∵81⁷-27⁹-9¹³=3²⁸-3²⁷-3²⁶=3²⁶（9-3-1）=45×3²⁴，
∴81⁷-27⁹-9¹³能被45整除；

（2）反證法：假設(shè)2（2n+1）能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差即2（2n+1）=a²-b²=（a+b）（a-b），
因?yàn)?（2n+1）是偶數(shù)，則a+b、a-b定有一個(gè)是偶數(shù)，
若a+b是偶數(shù)，則a、b具有相同的奇偶性，則a-b也是偶數(shù)；
同樣的，若a-b偶，則a+b也偶，
則（a+b）（a-b）能被4整除也就是說(shuō)2（2n+1）能被4整除，
即 2n+1能被2整除，但這是顯然不成立的，
故原假設(shè)不成立，
∴當(dāng)n為自然數(shù)時(shí)，2（2n+1）的形式的數(shù)不能表示為兩個(gè)整數(shù)的平方差；

（3）∵x4+

1

4

=(x4+x2+

1

4

) -x2=(x2+

1

2

) 2-x2=(x2-x+

1

2

)(x2+x+

1

2

)
∴原式=

(4-2+ 1 2 )(4+2+ 1 2 )(42-4+ 1 2 )(42+4+ 1 2 )(62-6+ 1 2 )(62+6+ 1 2 )(82-8+ 1 2 )(82+8+ 1 2 )(102-10+ 1 2 )(102+10+ 1 2 )

1 2 × 5 2 (32-3+ 1 2 )(32+3+ 1 2 ) (52-5+ 1 2 )(52+5+ 1 2 )(72-7+ 1 2 )(72+7+ 1 2 )(92-9+ 1 2 )(92+9+ 1 2 )

=2×（102+10+

1

2

）
=221．

點(diǎn)評(píng)：本題考查因式分解的應(yīng)用．解決（1）的關(guān)鍵是將原式通過(guò)因式分解轉(zhuǎn)化為9×5×3ⁿ的形式；（2）的關(guān)鍵是采用反證法；（3）的關(guān)鍵得到x4+

1

4

=(x2-x+

1

2

)(x2+x+

1

2

)這一規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律代入原式約分化簡(jiǎn)求值．