Question

已知拋物線y=x²-3x-的頂點為點D，并與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C．
（1）求點A、B、C、D的坐標；
（2）在y軸的正半軸上是否存在點P，使以點P、O、A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）取點E（-，0）和點F（0，-），直線l經過E、F兩點，點G是線段BD的中點．
①點G是否在直線l上，請說明理由；
②在拋物線上是否存在點M，使點M關于直線l的對稱點在x軸上？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）令y=0，解關于x的一元二次方程求出A、B的坐標，令x=0求出點C的坐標，再根據頂點坐標公式計算即可求出頂點D的坐標；
（2）根據點A、C的坐標求出OA、OC的長，再分OA和OA是對應邊，OA和OC是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求出OP的長，從而得解；
（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數法求一次函數解析式求出直線l的解析式，再利用中點公式求出點G的坐標，然后根據直線上點的坐標特征驗證即可；
②設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，求出OE、OF、HD、HB的長，然后求出△OEF和△HDB相似，根據相似三角形對應角相等求出∠OFE=∠HBD，然后求出EG⊥BD，從而得到直線l是線段BD的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質點D關于直線l的對稱點就是B，從而判斷出點M就是直線DE與拋物線的交點，再設直線DE的解析式為y=mx+n，利用待定系數法求一次函數解析求出直線DE的解析式，然后與拋物線解析式聯立求解即可得到符合條件的點M．
解答：解：（1）令y=0，則x²-3x-=0，整理得，4x²-12x-7=0，
解得x₁=-，x₂=，
所以，A（-，0），B（，0），
令x=0，則y=-，
所以，C（0，-），
∵-=-=，==-4，
∴頂點D（，-4）；

（2）在y軸正半軸上存在符合條件的點P，設點P的坐標為（0，y），
∵A（-，0），C（0，-），
∴OA=，OC=，OP=y，
①若OA和OA是對應邊，則△AOP∽△AOC，
∴=，
y=OC=，
此時點P（0，），
②若OA和OC是對應邊，則△POA∽△AOC，
∴=，
即=，
解得y=，
此時點P（0，），
所以，符合條件的點P有兩個，P（0，）或（0，）；

（3）①設直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經過點E（-，0）和點F（0，-），
∴，
解得，
所以，直線l的解析式為y=-x-，
∵B（，0），D（，-4），
（+）=，[0+（-4）]=-2，
∴線段BD的中點G的坐標為（，-2），
當x=時，y=-×-=-2，
所以，點G在直線l上；

②在拋物線上存在符合條件的點M．
設拋物線的對稱軸與x軸交點為H，則點H的坐標為（，0），
∵E（-，0）、F（0，-），B（，0）、D（，-4），
∴OE=，OF=，HD=4，HB=-=2，
∵==，∠OEF=∠HDB，
∴△OEF∽△HDB，
∴∠OFE=∠HBD，
∵∠OEF+∠OFE=90°，
∴∠OEF+∠HBD=90°，
∴∠EGB=180°-（∠OEF+∠HBD）=180°-90°=90°，
∴直線l是線段BD的垂直平分線，
∴點D關于直線l的對稱點就是點B，
∴點M就是直線DE與拋物線的交點，
設直線DE的解析式為y=mx+n，
∵D（，-4），E（-，0），
∴，
解得，
所以，直線DE的解析式為y=-x-2，
聯立，
解得，，
∴符合條件的點M有兩個，是（，-4）或（，-）．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線與坐標軸的交點的求解，求頂點坐標，待定系數法求一次函數解析式，點在直線上的驗證，相似三角形的判定與性質，聯立兩函數解析式求交點坐標的方法，綜合性較強，難度較大，（2）要根據對應邊的不同分情況討論，（3）求出直線l是線段BD的垂直平分線是解題的關鍵．