Question

【題目】在平面直角坐標系中，O是坐標原點，ABCD的頂點A的坐標為（﹣2，0），點D的坐標為（0，2 ），點B在x軸的正半軸上，點E為線段AD的中點．

（1）如圖1，求∠DAO的大小及線段DE的長；
（2）過點E的直線l與x軸交于點F，與射線DC交于點G．連接OE，△OEF′是△OEF關于直線OE對稱的圖形，記直線EF′與射線DC的交點為H，△EHC的面積為3 ．
①如圖2，當點G在點H的左側時，求GH，DG的長；
②當點G在點H的右側時，求點F的坐標（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（﹣2，0），D（0，2 ）

∴AO=2，DO=2 ，

∴tan∠DAO= = ，

∴∠DAO=60°，

∴∠ADO=30°，

∴AD=2AO=4，

∵點E為線段AD中點，

∴DE=2；

（2）解：①如圖2，

過點E作EM⊥CD，

∴CD∥AB，

∴∠EDM=∠DAB=60°，

∴EM=DEsin60°= ，

∴GH=6，

∵CD∥AB，

∴∠DGE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF關于直線OE的對稱圖形，

∴△OEF′≌△OEF，

∴∠OFE=∠OF′E，

∵點E是AD的中點，

∴OE= AD=AE，

∵∠EAO=60°，

∴△EAO是等邊三角形，

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，

∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEH=∠DGE，

∵∠DEH=∠EDG，

∴△DHE∽△DEG，

∴ ，

∴DE2=DG×DH，

設DG=x，則DH=x+6，

∴4=x（x+6），

∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，

∴DG=﹣3+ ．

②如圖3，

過點E作EM⊥CD，

∴CD∥AB，

∴∠EDM=∠DAB=60°，

∴EM=DEsin60°= ，

∴GH=6，

∵CD∥AB，

∴∠DHE=∠OFE，

∵△OEF′是△OEF關于直線OE的對稱圖形，

∴△OEF′≌△OEF，

∴∠OFE=∠OF′E，

∵點E是AD的中點，

∴OE= AD=AE，

∵∠EAO=60°，

∴△EAO是等邊三角形，

∴∠EOA=60°，∠AEO=60°，

∵△OEF′≌△OEF，

∴∠EOF′=∠EOA=60°，

∴∠EOF′=∠AEO，

∴AD∥OF′，

∴∠OF′E=∠DEH，

∴∠DEG=∠DHE，

∵∠DEG=∠EDH，

∴△DGE∽△DEH，

∴ ，

∴DE2=DG×DH，

設DH=x，則DG=x+6，

∴4=x（x+6），

∴x1=﹣3+ ，x2=﹣3﹣ ，

∴DH=﹣3+ ．

∴DG=3+

∴DG=AF=3+ ，

∴OF=5+ ，

∴F（﹣5﹣ ，0）．

【解析】（1）根據點A的坐，點D的坐標，在Rt△AOD中，利用解直角三角形易求出結論。
（2）①由（1）可知∠DAO=60°，添加輔助線，過點E作EM⊥CD，利用解直角三角形可求出EM、GH的長，根據已知易證明△OEF′≌△OEF，可得出角相等，點E是AD的中點，易得到△EAO是等邊三角形，再證明△DHE∽△DEG，得出對應邊成比例，設DG=x，則DH=x+6，建立方程，求出方程的解即可；②要求點F的坐標，就需求OF的長，解法與①類似求出DG，DG=AF，即可求出OF的長，從而求出點F的坐標。
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行四邊形的性質(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分)，還要掌握相似三角形的判定與性質(相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關知識才是答題的關鍵．