Question

已知：在平面直角坐標系中矩形OABC如圖，且A（6，0）、C（0，10），P點從C出發沿折線COA勻速運動、Q點從O出發沿折線OAB勻速運動，P、Q兩點同時出發運動t秒，且速度均為每秒2個單位長度，設S_△OPQ=S．
（1）已知直線y=mx+m-2平分矩形OABC面積，求m的值；（經驗之談：過對稱中心的任意一條直線均可將中心對稱圖形分成面積相等的兩部分．）
（2）當P點在CO上、Q點在OA上時，t為何值有S=12？
（3）求在此運動過程中S與t的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）先求出矩形OABC對稱中心的坐標，把此坐標代入直線y=mx+m-2即可得出m的值；
（2）當P點在CO上、Q點在OA上時，OP=10-2t，OQ=2t，再根據三角形的面積公式求出t的值即可；
（3）分0＜t≤3，3＜t＜5，5＜t≤8三種情況解答即可．

解答：解：（1）∵在平面直角坐標系中矩形OABC中A（6，0）、C（0，10），
∴矩形OABC的對稱中心為（3，5），
∴5=3m+m-2，解得m=

7

4

；

（2）∵當P點在CO上、Q點在OA上時，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）×2t=12，解得t₁=3，t₂=2；

（3）當0＜t≤3時，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）•2t=-2t²+5；
當3＜t＜5時，點P在OC上，點Q在AB上，
∴OP=10-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（10-2t）（2t-6）×6
=-12t²+96t-180；
當5＜t≤8時AP=16-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（16-2t）（2t-6）=-2t²+222t+8．

點評：本題考查的是一次函數綜合題，涉及到三角形及梯形的面積公式、矩形的性質等知識，難度適中．