Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．動點M以每秒1個單位長的速度，從點A沿線段AB向點B運動；同時點P以相同的速度，從點C沿折線C-D-A向點A運動．當點M到達點B時，兩點同時停止運動．過點M作直線l∥AD，與折線A-C-B的交點為Q．點M運動的時間為t（秒）．
（1）當AM=0.5時，求線段QM的長；
（2）點M在線段AB上運動時，是否可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形？若可以，請直接寫出t的值（不需解題步驟）；若不可以，請說明理由．
（3）若△PCQ的面積為y，請求y關于出t的函數關系式及自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直線平行得出Rt△AQM∽Rt△CAD，再利用對應邊的比值相等求出即可；
（2）點M在線段AB上運動時，以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，可利用三邊關系得出；
（3）分當0≤t≤2時與當6≥t＞2時，進行討論得出符合要求的答案．
解答：解：（1）∵AB∥DC，
∴Rt△AQM∽Rt△CAD．
∴．
即，
∴QM=1．

（2）∵根據題意可得當0≤t≤2時，以C、P、Q為頂點可以構成三角形為直角三角形，故有兩種情況：
①當∠CPQ=90°時，點P與點E重合，
此時DE+CP=CD，即t+t=2，∴t=1，
②當∠PQC=90°時，如備用圖1，
此時Rt△PEQ∽Rt△QMA，∴，
由（1）知，EQ=EM-QM=4-2t，
而PE=PC-CE=PC-（DC-DE）=t-（2-t）=2t-2，
∴，
∴；
③當2＜t≤6時，
可得CD=DP=2時，∠DCP=45°，
可以使得以C、P、Q為頂點的三角形為直角三角形，
此時t=4，
綜上所述，t=1或或4；


（3）如圖1，當0≤t≤2時，點P在線段CD上，設直線l交CD于點E
由（1）可得．
即，
∴QM=2t．
∴QE=4-2t．
∴S_△PQC=PC•QE=-t²+2t，
即y=-t²+2t，
當6≥t＞2時，如圖3，過點C作CF⊥AB交AB于點F，交PQ于點H．
PA=DA-DP=4-（t-2）=6-t．
由題意得，BF=AB-AF=4．
∴CF=BF，
∴∠CBF=45°，
∴QM=MB=6-t，
∴QM=PA．
∴四邊形AMQP為矩形．
∴PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6-t
∴CH=AD-HF=t-2，
∴S_△PQC=PQ•CH=，
即y=，
綜上所述y=-t²+2t（0≤t≤2），
或y=（2＜t≤6）．
點評：此題主要考查了相似三角形的性質與判定以及直角三角形的判定等知識，題目綜合性較強，分類討論時要考慮全面，根據t的取值范圍進行討論是解決問題的關鍵．