Question

如圖，已知拋物線y=ax²+b經(jīng)過點A（4，4）和點B（0，-4）．C是x軸上的一個動點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點C在以AB為直徑的圓上，求點C的坐標；
（3）將點A繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點D，當點D在拋物線上時，求出所有滿足條件的點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+b的圖象經(jīng)過點A（4，4）和點B（0，-4），利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式即可．
（2）過點A作AE⊥x軸于E，連接AB交x軸于點M，得到△OMB≌△EMA后得到MB=MA，OM=ME=

1

2

OE=2，然后求得線段MB的長后即可表示出點C的坐標；
（3）分點C在點（4，0）的右側(cè)時和當點C在點（4，0）的左側(cè)時兩種情況分類討論即可確定答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+b的圖象經(jīng)過點A（4，4）和點B（0，-4），
∴

16a+b=4 b=-4

，解得：

a= 1 2 b=-4

，
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x2-4；…（3分）

（2）過點A作AE⊥x軸于E，連接AB交x軸于點M，
OB=AE=4，∠MOB=∠AEM=90°，∠OMB=∠AME，
∴在△OMB與△EMA中，
∴

OB=AE ∠MOB=∠AEM ∠OMB=∠AME

∴△OMB≌△EMA，
∴MB=MA，OM=ME=

1

2

OE=2，
∴以M為圓心，MB為半徑的⊙M，即為以AB為直徑的圓．
由勾股定理得 MB=

OM2+OB2

=

22+42

=2

5

，
∴點C的坐標為(2-2

5

，0)，(2+2

5

，0)．

（3）如圖2，當點C在點（4，0）的右側(cè)時，
作AE⊥x軸于E，DF⊥x軸于F，
∵△ACD為等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°，即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
又∵∠DFC=∠AEC=90°，
在△DFC與△CEA中，

∠ACF=∠FDC AC=DC ∠DFC=∠AEC

∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，F(xiàn)C=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
當點C與點（4，0）的重合時，點D與原點重合；
當點C在點（4，0）的左側(cè)時，同理可得OF=DF；
∴綜上所述，點D在直線y=-x的圖象上．
設(shè)點C的坐標為（m，0），
則點D的坐標為（m-4，4-m），（13分）
又∵點D在拋物線y=

1

2

x2-4的圖象上，
∴4-m=

1

2

(m-4)2-4，
解得：m₁=0，m₂=6，
∴當點C的坐標為（6，0）或（0，0）時，
點D落在拋物線y=

1

2

x2-4的圖象上．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是題目中涉及到的分類討論的數(shù)學(xué)思想更是中考中的高頻考點，同時也是一個易錯點．