Question

如圖，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以點B為圓心，線段BC長為半徑的弧交邊AC于點D，且∠DBC=∠BAC，P是邊BC延長線上一點，過點P作PQ⊥BP，交線段BD的延長線于點Q．設CP=x，DQ=y．
（1）求CD的長；
（2）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）當∠DAQ=2∠BAC時，求CP的值．

Answer 1

分析：（1）由∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，易得：△BDC∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得CD的長；
（2）由BC=BD與∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，可證得：∠ABC=∠ACB，則可求得：AC=AB=4；作輔助線：作DE⊥BC，垂足為點E，即可證得：DE∥AH，又由DE∥PQ，根據平行線分線段成比例定理，即可求得y關于x的函數解析式；
（3）首先求得AQ=AB=4，然后作AF⊥BQ，垂足為點F，即可求得QF與DF的值，由勾股定理即可求得CP的值．

解答：解：（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC∽△ABC，
∴

CD

BD

=

BC

AB

，
∵AB=4，BC=BD=2，
∴CD=1；

（2）∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC．
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴∠ABC=∠BDC．
∴∠ABC=∠ACB．
∴AC=AB=4，
作AH⊥BC，垂足為點H．
∴BH=CH=1．
作DE⊥BC，垂足為點E，可得DE∥AH．
∴

CE

CH

=

CD

CA

，即

CE

1

=

1

4

．
∴CE=

1

4

，BE=

7

4

．
又∵DE∥PQ
∴

DQ

BD

=

EP

BE

，即

y

2

=

x+ 1 4

7 4

，
整理，得y=

8

7

x+

2

7

．
定義域為x＞0．

（3）
∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，
∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．
∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，
∴∠ABD=∠DQA．
∴AQ=AB=4．
作AF⊥BQ，垂足為點F，可得QF=

y+2

2

，DF=

y-2

2

．
∴32-(

y-2

2

)2=42-(

y+2

2

)2．
解得y=

7

2

，
∴

8

7

x+

2

7

=

7

2

．
解得x=

45

16

，
即CP=

45

16

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數形結合思想的應用．