Question

如圖，△ABC 中，BD、CE分別是AC、AB上的高，BD與CE交于點O．BE=CD
（1）問△ABC為等腰三角形嗎？為什么？
（2）問點O在∠A的平分線上嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）先利用HL證明Rt△BCD與Rt△CBE全等，然后根據全等三角形對應角相等可得∠ABC=∠ACB，再根據等角對等邊的性質可得AB=AC，所以△ABC是等腰三角形；
（2）根據（1）中Rt△BCD≌Rt△CBE，然后利用全等三角形對應邊相等可得BD=CE，對應角相等可得∠BCE=∠CBD，然后利用等角對等邊可得BO=CO，相減可得OD=OE，再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上即可證明．

解答：解：（1）△ABC是等腰三角形．
理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，
∴△BCD與△CBE是直角三角形，
在Rt△BCD與Rt△CBE中，

BE=CD BC=BC

，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
即△ABC是等腰三角形；

（2）點O在∠A的平分線上．
理由如下：∵Rt△BCD≌Rt△CBE，
∴BD=CE，∠BCE=∠CBD，
∴BO=CO，
∴BD-BO=CE-CO，
即OD=OE，
∵BD、CE是△ABC的高，
∴點O在∠A的平分線上（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，全等三角形的判定，到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上的性質，證明出全等三角形是解題的關鍵．