Question

將一根長為16π厘米的細鐵絲剪成兩段．并把每段鐵絲圍成圓，設所得兩圓半徑分別為r₁和r₂．
（1）求r₁與r₂的關系式，并寫出r₁的取值范圍；
（2）將兩圓的面積和S表示成r₁的函數關系式，求S的最小值．

Answer 1

解：（1）由題意，有2πr₁+2πr₂=16π，
則r₁+r₂=8，
∵r₁＞0，r₂＞0，
∴0＜r₁＜8．
即r₁與r₂的關系式為r₁+r₂=8，r₁的取值范圍是0＜r₁＜8厘米；

（2）∵r₁+r₂=8，∴r₂=8-r₁，
又∵S=π+π，
∴S=π+π（8-r₁）²=2π-16πr₁+64π=2π（r₁-4）²+32π，
∴當r₁=4厘米時，S有最小值32π平方厘米．
分析：（1）先由圓的周長公式表示出半徑分別為r₁和r₂的圓的周長，再根據這兩個圓的周長之和等于16π厘米列出關系式即可；
（2）先由（1）可得r₂=8-r₁，再根據圓的面積公式即可得到兩圓的面積和S表示成r₁的函數關系式，然后根據函數的性質即可求出S的最小值．
點評：本題考查了二次函數的應用及圓的周長與面積公式，難度中等，（2）中用含r₁的代數式表示r₂是解題的關鍵，運用配方法求函數的最小值需牢固掌握．