Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝kx﹣3與雙曲線的兩個交點為A，B，其中A（﹣1，m）.

（1）求m的值及直線的表達式；

（2）若點M為x軸上一個動點，且△AMB為直角三角形，直接寫出滿足條件的點M的個數.

Answer 1

【答案】（1）m＝﹣4，y＝x﹣3；（2）點M有4個

【解析】

（1）先利用待定系數法求出點A坐標，進而代入雙曲線解析式中即可得出結論；

（2）先求出點B的坐標，分三種情況，用勾股定理建立方程即可求出結論.

解：（1）把A（﹣1，m）代入得

∴m＝﹣4

把A（﹣1，﹣4）代入y＝kx﹣3

∴﹣4＝﹣k﹣3

∴k＝1

∴y＝x﹣3，

（2）由（1）知，直線AB的解析式為y＝x﹣3①，

∵雙曲線的解析式為②，

聯立①②解得，或，

∴A（﹣1，﹣4），B（4，1），

設點M的坐標為（m，0），

∴AB2＝50，AM2＝（m+1）2+16，BM2＝（m﹣4）2+1

∵△AMB是直角三角形，

∴①當∠AMB＝90°時，AM2+BM2＝AB2，

∴50＝（m+1）2+16+（m﹣4）2+1，

∴，

∴M（，0）或（，0）；

②當∠BAM＝90°時，AB2+AM2＝BM2，

∴50+（m+1）2+16＝（m﹣4）2+1，

∴m＝﹣5，

∴M（﹣5，0）；

③當∠ABM＝90°時，AB2+BM2＝AM2，

∴50+（m﹣4）2+1＝（m+1）2+16，

∴m＝5，

∴M（5，0）

∴滿足條件的點M有4個.