Question

（2002•宜昌）如圖1，已知BC是圓O的直徑，線段RQ∥BC，A是RQ上的任意一點，AF與圓O相切于點F，連接AB與圓O相交于點M，D是AB上一點，AD=AF，DE垂直于AB并與AC的延長線交于點E．
（1）當點A處于圖2中A的位置時，AC與圓O相切于點C，求證：△ADE≌△ACB；
（2）當點A處于圖3中A₁的位置時，A₁F：A₁E=1：2，．求角BCA₁的大小；
（3）圖1中，若BC=4，RQ與BC的距離為3，那么△ADE的面積S與點A的位置有沒有關系，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于AF、AC都是圓的切線，由切線長定理知：AF=AC，由此可得AD=AC，再加上公共角∠BAE、一組直角，即可證得所求的三角形全等．
（2）連接CM，則CM⊥A₁B，已知A₁F：A₁E=1：2，即A₁D：A₁E=1：2，由此可求得∠DA₁E=60°，∠A₁CM=30°；首先用未知數表示出A₁C、BC的長，在Rt△A₁CM中，根據∠MA₁C的度數可表示出CM的值，進而可在Rt△BCM中，根據CM、BC的值求出∠BCM的度數，由此得解．
（3）此題應分兩種情況討論：
①如圖2的情況，即AE與圓相切，此時△ABC≌△ADE，因此△ADE的面積等于△ABC的面積；
②如圖1、3的情況，即AE與圓相交，設AE與圓的另一個交點為N，連接BN、CM，由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切線長定理：AF²=AM×AB，由于A點在直線PQ上運動，所以△ABC的面積是不變的，因此△ADE的面積也不變，即S與A的位置無關．
解答：（1）證明：∵AF、AC都是圓的切線，
∴AF=AC，
又∵AF=AD，∴AC=AD；
∵∠DAE=∠CAB，∠EDA=∠BCA=90°，
∴△ADE≌△ACB．

（2）解：連接CM，則CM⊥A₁B；
∵A₁F=A₁D，且A₁F：A₁E=1：2，
∴A₁D：A₁E=1：2，即∠MA₁C=60°，∠A₁CM=30°；
設A₁C=x，則CM=x，BC=x；
在Rt△BCM中，BC：CM=x：x=：1，
∴∠BCM=45°，
∴∠BCA₁=∠BCM+∠A₁CM=75°．

（3）解：①當AE與圓相切時，由（1）可知：△ADE≌△ACB，
此時S_△ADE=S_△ABC；

②當AE與圓相交時，設AE與圓的另一個交點為N，連接BN，CM；
由CM∥DE可得：CM：DE=AM：AD=AM：AF，
由切線長定理：AF²=AM×AB，
得：AM：AF=AF：AB，
∴CM：DE=AF：AB，
∴AF•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC，
∴AD•DE=AB•MC=S_△ABC，
由于A點在平行于AB的直線上運動，因此△ABC的面積為定值，且S_△ABC=×4×3=6；
故△ADE的面積S與A的位置無關，且恒為6．
點評：此題主要考查了切線的性質、相似三角形以及全等三角形的判定和性質、三角形面積的計算方法等知識，難度較大．