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已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線,BM平分∠ABC交AE于點M,經過B,M兩點的⊙O交BC于點G,交AB于點F,FB恰為⊙O的直徑.
(1)求證:AE與⊙O相切;
(2)當BC=4,cosC=時,求⊙O的半徑.

【答案】分析:(1)連接OM,證明OM∥BE,再結合等腰三角形的性質說明AE⊥BE,進而證明OM⊥AE;
(2)結合已知求出AB,再證明△AOM∽△ABE,利用相似三角形的性質計算.
解答:(1)證明:連接OM,則OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵點M在圓O上,
∴AE與⊙O相切;

(2)解:在△ABC中,AB=AC,AE是角平分線
∴BE=BC,∠ABC=∠C
∵BC=4,cosC=
∴BE=2,cos∠ABC=
在△ABE中,∠AEB=90°
∴AB==6
設⊙O的半徑為r,則AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE


解得
∴⊙O的半徑為
點評:本題是小綜合題,考查等腰三角形,平行線,角平分線,直線和圓的位置關系,相似三角形等知識點.
練習冊系列答案
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科目:初中數學 來源: 題型:

34、已知:如圖,在AB、AC上各取一點,E、D,使AE=AD,連接BD,CE,BD與CE交于O,連接AO,∠1=∠2,
求證:∠B=∠C.

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科目:初中數學 來源: 題型:

(2013•啟東市一模)已知,如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分線AD交BC邊于D.
(1)以AB邊上一點O為圓心,過A,D兩點作⊙O(不寫作法,保留作圖痕跡),再判斷直線BC與⊙O的位置關系,并說明理由;
(2)若(1)中的⊙O與AB邊的另一個交點為E,半徑為2,AB=6,求線段AD、AE與劣弧DE所圍成的圖形面積.(結果保留根號和π)《根據2011江蘇揚州市中考試題改編》

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科目:初中數學 來源: 題型:

已知:如圖,在△ABC中,∠C=120°,邊AC的垂直平分線DE與AC、AB分別交于點D和點E.
(1)作出邊AC的垂直平分線DE;
(2)當AE=BC時,求∠A的度數.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

已知:如圖,在AB、AC上各取一點E、D,使AE=AD,連接BD,CE,BD與CE交于O,連接AO,∠1=∠2,
求證:∠B=∠C.

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科目:初中數學 來源:專項題 題型:證明題

已知:如圖,在AB、AC上各取一點,E、D,使AE=AD,連結BD,CE,BD與CE交于O,連結AO,
           ∠1=∠2;
求證:∠B=∠C

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同步練習冊答案
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