Question

閱讀理解：對于任意正實數a，b，（

a

-

b

）²≥0，∴a-2

ab

+b≥0，只有當a=b時，等號成立．
結論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，
只有當a=b時，a+b有最小值2

p

．
根據上述內容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當m=

1

時，m+

1

m

有最小值

2

；
（2）探索應用：已知A（-3，0），B（0，-4），點P為雙曲線y=

12

x

(x＞0)上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析：（1）由m+

1

m

≥2

m• 1 m

=2，當且僅當m=

1

m

時，取等號，即可求得此時m的值且m+

1

m

的最小值；
（2）首先設點P的坐標為（x，

12

x

），由已知即可得S_{四邊形ABCD}=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD=

18

x

+2x+12，根據已知即可求得四邊形ABCD面積的最小值，即此時點P的坐標，繼而可求得此時四邊形ABCD的形狀．

解答：解：（1）∵m+

1

m

≥2

m• 1 m

=2，當且僅當m=

1

m

時，取等號，
又∵m＞0，
∴只有當m=1時，m+

1

m

有最小值為2；
故答案為：1，2；

（2）設點P的坐標為（x，

12

x

），
∴OD=

12

x

，OC=x，
∵A（-3，0），B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△OAD+S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD=

1

2

OA•OD+

1

2

OA•OB+

1

2

OB•OC+

1

2

OD•OC=

1

2

×3×

12

x

+

1

2

×3×4+

1

2

×4×x+

1

2

×x×

12

x

=

18

x

+2x+12≥2

18 x ×2x

+12=24，
當且僅當

18

x

=2x時，取等號，
∵x＞0，
∴當x=3時，四邊形ABCD面積的最小值為24；
∴OD=4，OC=3，
∴OD=OB=4，OA=OC=3，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴當x=3時，四邊形ABCD面積的最小值為24，且此時四邊形ABCD是菱形．

點評：此題考查了反比例函數的性質、待定系數法求函數的解析式、幾何不等式的應用以及菱形的判定等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意理解題意，掌握幾何不等式的應用，注意數形結合、函數思想與方程思想的應用．