Question

如圖，直角坐標系中直線AB交x軸，y軸于點A（4，0）與B（0，-3），現有一半徑為1的動圓的圓心位于原點處，以每秒1個單位的速度向右作平移運動，則經過

 

秒后動圓與直線AB相切．

Answer 1

分析：在直角三角形OAB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得AB=5，設⊙P經過x秒后與直線AB相切，過P點作AB的垂線，垂足為Q，PQ=1；
（1）當⊙P在直線AB的左邊與直線AB相切時，AP=4-x，根據△APQ∽△ABO中的成比例線段求解；
（2）當⊙P在直線AB的右邊與直線AB相切時，AP=x-4，根據△APQ∽△ABO中的成比例線段求解．

解答：解：∵OA=4，OB=3，
∴AB=5，
設⊙P經過x秒后與直線AB相切，過P點作AB的垂線，垂足為Q，則PQ=1；

（1）當⊙P在直線AB的左邊與直線AB相切時，AP=4-x，
由△APQ∽△ABO得，

AP

AB

=

PQ

BO

，即

4-x

5

=

1

3

，
解得x=

7

3

；

（2）當⊙P在直線AB的右邊與直線AB相切時，AP=x-4；
由△APQ∽△ABO得，

AP

AB

=

PQ

BO

，即

x-4

5

=

1

3

，
解得x=

17

3

．
故填

7

3

或

17

3

．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．