Question

如圖，⊙O的半徑為4cm，AB是⊙O的直徑，BC切⊙O于點B，且BC=4cm，當點P在⊙O上運動時，是否存在點P，使得△PBC為等腰三角形，若存在，有幾個符合條件的點P，并分別求出點P到線段BC的距離；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：假設(shè)存在點P，使得為△PBC等腰三角形，并能找到4個符合條件的點P，并求出距離．
解答：解：假設(shè)存在點P，使得為△PBC等腰三角形，
當BP=BC時，可得OP=BP=OB，
則△OBP₁為等邊三角形．
∴∠P₁BG=30°，過P₁作P₁G⊥BC于G，
∵cm．
∴P₁到BC距離為2cm．
當CP=BC時，∵BC=OB=OP₂=CP₂，∠OBC=90°，
∴四邊形OBCP₂為正方形，
∴∠BCP₂=90°，P₂C=4cm．
∴P₂到BC距離為4cm．
當CP=BP時，作BC的垂直平分線交⊙O于P₃．
∵P₃K⊥BC，
∴（cm）
∴（cm），
∴P₃到線段BC距離為（cm）．
∵P₃K⊥OP₂，
∴（cm）．
∴（cm）．
∴P₄到線段BC距離為（cm）．
∴存在4個點P滿足條件，P到BC的距離分別為2cm，4cm，（）cm，（）cm．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)，先假設(shè)，并能找到符合情況的4個點，并能求出距離，從而解決問題．