Question

（2012•平谷區二模）已知：正比例函數y₁=k₁x（k₁≠0）和反比例函數y2=

k2

x

(k2≠0)的圖象都經過點A（1，

3

）．
（1）求滿足條件的正比例函數和反比例函數的解析式；
（2）設點P是反比例函數圖象上的點，且點P到x軸和正比例函數圖象的距離相等，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）把A（1，

3

）分別代入y₁=k₁x（k₁≠0）和y2=

k2

x

(k2≠0)即可求得k₁，k₂的值；
（2）作PB⊥x軸于B，AC⊥x軸于C，根據A點坐標可得到∠AOC=60°，由于點P到x軸和正比例函數圖象的距離相等，根據角平分線的性質得到∠POB=30°，設P點坐標（a，b），則a=

3

b，即P點坐標為（

3

b，b），設直線OP的解析式為y=mx，則可求出m=

3

3

，然后解由反比例函數的解析式和直線OP的解析式組成的方程組即可得到點P的坐標．

解答：解：（1）把A（1，

3

）分別代入y₁=k₁x（k₁≠0）和y2=

k2

x

(k2≠0)得k₁=

3

，k₂=

3

，
所以正比例函數和反比例函數的解析式分別為y=

3

x，y=

3

x

；

（2）作PB⊥x軸于B，AC⊥x軸于C，如圖，
∵A點坐標為（1，

3

），即AC=

3

，OC=1，
∴tan∠AOC=

3

，
∴∠AOC=60°，
∵點P到x軸和正比例函數圖象的距離相等，
∴∠POB=30°，
設P點坐標（a，b），則a=

3

b，即P點坐標為（

3

b，b），
設直線OP的解析式為y=mx，
把（

3

b，b）代入得b=

3

b•m，
∴m=

3

3

，
解方程組

y= 3 x y= 3 3 x

得

x= 3 y=1

或

x=- 3 y=-1

，
∴點P的坐標為（

3

，1）或（-

3

，-1）．

點評：本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：反比例函數與一次函數的交點坐標滿足兩函數的解析式．也考查了待定系數法求函數的解析式以及角平分線的性質．