Question

【題目】已知，點B在線段CE上．

（感知）（1）如圖①，∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，易知△ACB∽△AED（不要求證明）；

（拓展）（2）如圖②，△ACE中，AC＝AE，且∠ABD＝∠E，求證：△ACB∽△BED；

（應用）（3）如圖③，△ACE為等邊三角形，且∠ABD＝60°，AC＝6，BC＝2，則△ABD與△BDE的面積比為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）7：2

【解析】

（1）由∠C＝∠ABD＝∠E＝90°知∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，據此得∠A＝∠DBE，從而得證．

（2）由∠C＝∠ABD＝∠E與∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，即可求得∠CAB＝∠DBE，即可證得：△ACB∽△BED．

（3）由△ACB∽△BED，根據相似三角形的對應邊成比例，可求得△ABC與△BDE的面積比，△ABC與△ABE的面積比，繼而求得答案．

（1）∵∠C＝∠ABD＝∠E＝90°，

∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBE＝90°，

∴∠A＝∠DBE，

∴△ACB∽△BED；

（2）∵AC＝AE，

∴∠C＝∠E，

∵∠ABD＝∠E，

∴∠C＝∠ABD，

又∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，

∴∠CAB＝∠DBE，

∴△ACB∽△BED；

（3）∵∠ABE＝∠C+∠CAB，∠ABE＝∠ABD+∠DBE，∠C＝∠ABD，

∴∠CAB＝∠DBE，

∵∠C＝∠E＝60°，

∴△ACB∽△BED，△ACE是等邊三角形，

∴AE＝AC＝6，

∴BE＝CE﹣BC＝4，

∴△ACB與△BED的相似比為：3：2，

∴S△ABC：S△BED＝9：4，S△ABC：S△ABE＝1：2＝9：18，

設S△ABC＝9x，則S△ABE＝18x，S△BDE＝4x，

∴S△ABD＝S△ABE﹣S△BED＝18x﹣4x＝14x，

∴S△ABD：S△BDE＝14：4＝7：2．

故答案為：7：2．