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如圖,△ABC是一銳角三角形余料,邊BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形精英家教網的一邊在BC上,其余兩個頂點E、F分別在AB、AC上.
求:(1)AK為何值時,矩形EFGH是正方形?
(2)若設AK=x,SEFGH=y,試寫出y與x的函數解析式.
(3)x為何值時,SEFGH達到最大值.
分析:(1)設出邊長為xcm,由正方形的性質得出,EH∥AD,EF∥BC,根據平行線的性質,可以得出比例關系式,
EH
AD
=
BE
AB
EF
BC
=
AE
AB
,代入數據求解即可,
(2)設AK=x,則EH=16-x,再根據
EF
BC
=
AK
AD
得出EF的表達式,根據矩形面積公式即可得出y與x的函數解析式,
(3)對二次函數表達式進行配方即可求最值.
解答:解:(1)設邊長為xcm,
∵矩形為正方形,
∴EH∥AD,EF∥BC,
根據平行線的性質可以得出:
EH
AD
=
BE
AB
EF
BC
=
AE
AB

由題意知EH=x,AD=24,BC=16,EF=x,即
x
24
=
BE
AB
x
16
=
AE
AB

∵BE+AE=AB,
x
24
+
x
16
=
BE
AB
+
AE
AB
=1,
解得x=
48
5

∴AK=
72
5

∴當AK=
72
5
時,矩形EFGH為正方形;

(2)設AK=x,EH=24-x,
∵EHGF為矩形,
EF
BC
=
AK
AD
,即EF=
2
3
x,
∴SEFGH=y=
2
3
x•(24-x)=-
2
3
x2+16x(0<x<24);

(3)y=-
2
3
x2+16x
配方得:y=-
2
3
(x-12)2+96,
∴當x=12時,SEFGH有最大值96.
點評:本題主要考查了平行的性質、矩形的性質、二次函數的最值,綜合性強,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,△ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成長方形零件PQMN,使長方形PQMN的邊QM在BC上,其余兩個頂點P,N分別在AB,AC上.
(Ⅰ)求這個長方形零件PQMN面積S的最大值;
(Ⅱ)在這個長方形零件PQMN面積最大時,能否將余下的材料△APN,△BPQ,△NMC剪精英家教網下再拼成(不計接縫用料及損耗)與長方形PQMN大小一樣的長方形?若能,試給出一種拼法;若不能,試說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,△ABC是一張銳角三角形的硬紙片.AD是邊BC上的高,BC=40cm,AD=30cm.從這張硬紙片剪下精英家教網一個長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH.使它的一邊EF在BC上,頂點G,H分別在AC,AB上.AD與HG的交點為M.
(1)求證:
AM
AD
=
HG
BC

(2)求這個矩形EFGH的周長.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

如圖,△ABC是一銳角三角形余料,邊BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形的一邊在BC上,其余兩個頂點E、F分別在AB、AC上.
求:(1)AK為何值時,矩形EFGH是正方形?
(2)若設AK=x,SEFGH=y,試寫出y與x的函數解析式.
(3)x為何值時,SEFGH達到最大值.

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科目:初中數學 來源:第2章《二次函數》中考題集(45):2.4 二次函數的應用(解析版) 題型:解答題

如圖,△ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成長方形零件PQMN,使長方形PQMN的邊QM在BC上,其余兩個頂點P,N分別在AB,AC上.
(Ⅰ)求這個長方形零件PQMN面積S的最大值;
(Ⅱ)在這個長方形零件PQMN面積最大時,能否將余下的材料△APN,△BPQ,△NMC剪下再拼成(不計接縫用料及損耗)與長方形PQMN大小一樣的長方形?若能,試給出一種拼法;若不能,試說明理由.

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