Question

（2013•攀枝花）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，直線PO交⊙O與點E，F過點A作PO的垂線AB垂足為D，交⊙O與點B，延長BO與⊙O交與點C，連接AC，BF．
（1）求證：PB與⊙O相切；
（2）試探究線段EF，OD，OP之間的數量關系，并加以證明；
（3）若AC=12，tan∠F=

1

2

，求cos∠ACB的值．

Answer 1

分析：（1）連接OA，由OP垂直于AB，利用垂徑定理得到D為AB的中點，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP與三角形BOP全等，由PA為圓的切線，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的對應角相等及垂直的定義得到OB垂直于BP，即PB為圓O的切線；
（2）由一對直角相等，一對公共角，得出三角形AOD與三角形OAP相似，由相似得比例，列出關系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證．
（3）連接BE，構建直角△BEF．在該直角三角形中利用銳角三角函數的定義、勾股定理可設BE=x，BF=2x，進而可得EF=

5

x；然后由面積法求得BD=

2 5

5

x，所以根據垂徑定理求得AB的長度，在Rt△ABC中，根據勾股定理易求BC的長；最后由余弦三角函數的定義求解．

解答：（1）證明：連接OA，
∵PA與圓O相切，
∴PA⊥OA，即∠OAP=90°，
∵OP⊥AB，
∴D為AB中點，即OP垂直平分AB，
∴PA=PB，
∵在△OAP和△OBP中，

AP=BP OP=OP OA=OB

，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴BP⊥OB，
則直線PB為圓O的切線；

（2）答：EF²=4DO•PO．
證明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴

OA

OP

=

OD

OA

，即OA²=OD•OP，
∵EF為圓的直徑，即EF=2OA，
∴

1

4

EF²=OD•OP，即EF²=4OD•OP；

（3）解：連接BE，則∠FBE=90°．
∵tan∠F=

1

2

，
∴

BE

BF

=

1

2

，
∴可設BE=x，BF=2x，
則由勾股定理，得
EF=

BF2+BE2

=

5

x，
∵

1

2

BE•BF=

1

2

EF•BD，
∴BD=

2 5

5

x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2BD=

4 5

5

x，
∴Rt△ABC中，BC=

5

x，
AC²+AB²=BC²，
∴12²+（

4 5

5

x）²=（

5

x）²，
解得：x=4

5

，
∴BC=4

5

×

5

=20，
∴cos∠ACB=

AC

BC

=

12

20

=

3

5

．

點評：此題考查了切線的判定與性質，相似及全等三角形的判定與性質以及銳角三角函數關系等知識，熟練掌握切線的判定與性質是解本題的關鍵．