Question

（2010•廣陽區二模）如圖，拋物線y=-x²+2nx+n²-9（n為常數）經過坐標原點和x軸上的另一點C，頂點在第一象限．
（1）確定該拋物線的解析式；
（2）寫出該拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（3）點P在該函數圖象上，且點P到x軸的距離為8，求出點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）將原點代入解析式，可求出n的值，根據頂點坐標在第一象限，可得出n的值，即可得拋物線的解析式；
（2）根據拋物線的對稱軸x=-

b

2a

，即可求出；然后，把x的值代入解析式即可求出頂點的縱坐標；
（3）設點P的坐標為：（x，8）或（x，-8），代入解析式，求出x的值，即可解答；

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+2nx+n²-9（n為常數）經過坐標原點，
∴可得，0=n²-9，解得n=±3，
又∵頂點在第一象限，
即x=-

2n

2×(-1)

＞0，得n＞0，
∴n=3，
∴該拋物線的解析式為：y=-x²+6x；

（2）拋物線的對稱軸為：x=-

2×3

2×(-1)

=3，
∴y=-9+18=9，
∴拋物線的頂點坐標為：（3，9）；

（3）根據題意，
設點P的坐標為：（x，8）或（x，-8），
∴8=-x²+6x或-8=-x²+6x，
整理得x²-6x+8=0或x²-6x-8=0，
解得x=2或x=4；x=3±

17

；
∴點P的坐標為：（2，8）或（4，8）或（3-

17

，-8）或（3+

17

，-8）．

點評：本題主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來．