Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交于點A，與y軸交于點B，且OA=3，AB=6．點P從點O出發沿OA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達點A后立刻以原來的速度沿AO返回；點Q從點A出發沿AB以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動．伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于點D，交折線QB-BO-OP于點E．點P、Q同時出發，當點Q到達點B時停止運動，點P也隨之停止．設點P、Q運動的時間是t秒（t＞0）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）在點P從O向A運動的過程中（不包括A、O），求△APQ的面積S與t之間的函數關系式，并直接寫出t的取值范圍；

（3）在點E從B向O運動的過程中，完成下面問題：

四邊形QBED能否成為直角梯形？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；

 

Answer 1

【答案】

（1）直線AB的解析式為                          （1分）

（2）

                                  （2分）

（）                                          （1分）

（3）四邊形QBED能成為直角梯形．

①（Ⅰ）當DE∥QB時，

∵DE⊥PQ，

∴PQ⊥QB，四邊形QBED是直角梯形．

此時∠AQP=90°．

由（2）得AP=2AQ，即3-t=2t                                   （2分）

解得t= 1；                                                    （1分）

（Ⅱ）當PQ∥BO時，

∵DE⊥PQ，

∴DE⊥BO，四邊形QBED是直角梯形．

此時∠APQ=90°．

由（2）得AQ=2AP，即2（3-t）=t                               （1分）

解得t= 2   

【解析】（1）首先由在Rt△AOB中，OA=3，AB=5，求得OB的值，然后利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；

（2）過點Q作QF⊥AO于點F，由△AQF∽△ABO，根據相似三角形的對應邊成比例，借助于方程即可求得QF的長，然后即可求得△APQ的面積S與t之間的函數關系式；

（3）分別從DE∥QB與PQ∥BO去分析，借助于相似三角形的性質，即可求得t的值；