Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD⊥BC，BD與AC相交于點E，AB=9，BC=4，DC=3．

（1）求BE的長度；
（2）求△ABE的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CD⊥BC，

∴∠DCB=90°，

在Rt△BCD中，BC=4，DC=3，

根據勾股定理得：BD= =5，

∵AB∥CD，

∴△ABE∽△CDE，

∴DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，

又∵BD=5，

∴BE= BD=

（2）解：作EF⊥AB，EH⊥CD，

∵△ABE∽△CDE，

∴EF：EH=DC：AB=1：3，

又∵BC=4，

∴FE= BC=3，EF的長，

則S△ABE=AB×EF× = ．

【解析】（1）在Rt△BCD中根據勾股定理得出BD的長，根據平行于三角形一邊的直線截其它兩邊的延長線，所截得的三角形與原三角形相似得出△ABE∽△CDE，根據相似三角形對應邊成比例得出DC：AB=DE：BE=3：9=1：3，從而得出答案；
（2）作EF⊥AB，EH⊥CD，根據相似三角形對應高的比等于相似比得出EF的長，從而根據三角形的面積公式計算即可。
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．