Question

【題目】如圖，已知ABCD中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，E、F分別是AB，BC上的動點，EF⊥BC，△BEF與△PEF關于直線EF對稱，若△APD是直角三角形，則BF的長為_____．

Answer 1

【答案】或或

【解析】

分三種情況：①當∠PAD=90°，由平行四邊形的性質得出CD=AB=3，AD=BC=5，AD∥BC，證明△ABP∽△CBA，得出，求出BP=，由軸對稱的性質即可得出結果；

②當點P與C重合時，BF=PF=BP=BC=；

③當點P與C不重合時，∠APD=90°，作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，BF=．

分三種情況：

①當∠PAD＝90°，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝5，AD∥BC，

∴∠APB＝∠PAD＝90°，

∵AB＝3，BC＝5，∠BAC＝90°，

∴AC＝＝4，

∵∠B＝∠B，

∴△ABP∽△CBA，

∴，即，

解得：BP＝，

∵EF⊥BC，△BEF與△PEF關于直線EF對稱，

∴BF＝PF＝BP＝；

②當點P與C重合時，如圖2所示：

∵AB∥CD，

∴∠APD＝∠ACD＝∠BAC＝90°，

∵EF⊥BC，△BEF與△PEF關于直線EF對稱，

∴BF＝PF＝BP＝BC＝；

③當點P與C不重合時，∠APD＝90°，如圖3所示：

作AG⊥BC于G，則EF與AG重合，BF＝；

綜上所述，若△APD是直角三角形，則BF的長為 ，或或；

故答案為：或或．