Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O經過BC的中點D，過D作DE⊥AC于E．
（1）求證：AB=AC
（2）求證：DE是⊙O的切線
（3）若AB=10，∠ABC=30°，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）利用直徑所對的圓周角是直角和等腰三角形的三線合一可以得到AB=AC；
（2）連接OD，利用平行線的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，從而判斷DE是圓的切線．

解答：證明：（1）∵AB是⊙O的直徑
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC，又D是BC的中點
∴AB=AC       （4分）
（2）連OD，
∵O、D分別是AB、BC的中點
∴OD∥AC
∴∠ODE=∠DEC=90°
∴DE是⊙O的切線       （4分）
（3）∵AB=10，∠ABC=30°，
∴AD=5
∵∠ABC=30°
∴∠ODB=30°，∠ADO=60°，∠ADE=30°
DE=5cos30°=

5 3

2

∴DE的長為

5 3

2

（2分）

點評：本題目考查了等腰三角形的判定及性質、圓周角定理及切線的性質，涉及的知識點比較多且碎，解題時候應該注意．