Question

【題目】如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點P從A點出發，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發，沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，設運動時間為x秒．

（1）當CQ=10時，求的值．

（2）當x為何值時，PQ∥BC；

（3）是否存在某一時刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此時AP的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)2;(2) ;(3) 存在．

【解析】

（1）當CQ=10時，可求出x，從而求出AP，即可求出BP，然后根據兩個三角形兩底上的高相等時，這兩個三角形的面積比等于這兩個底的比，就可解決問題；
（2）由題可得AP=4x，CQ=3x，BP=20-4x，AQ=30-3x．若PQ∥BC，則有△APQ∽△ABC，然后運用相似三角形的性質即可解決問題；
（3）由BA=BC得∠A=∠C．要使△APQ∽△CQB，只需只需

此時 解這個方程就可解決問題．

解：(1)當CQ=10時，3x=10，

∴

∴

∴

∴∴.

(2)由題可得AP=4x，CQ=3x.

∵BA=BC=20，AC=30，

∴BP=204x，AQ=303x.

若PQ∥BC，

則有△APQ∽△ABC，

∴

∴

解得：

∴當時,PQ∥BC；

(2)存在;

∵BA=BC，

∴∠A=∠C，

要使△APQ∽△CQB，

只需

此時

解得：

∴