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已知:如圖,直線y=-x+4與x軸相交于點(diǎn)A,與直線y=x相交于點(diǎn)P.
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)請(qǐng)判斷△OPA的形狀并說明理由;
(3)動(dòng)點(diǎn)E從原點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿著O、P、A的路線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)(E不與點(diǎn)O,A重合),過點(diǎn)E分別作EF⊥x軸于F,EB⊥y軸于B,設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S.
求:①S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.②當(dāng)t為何值時(shí),S最大,并求出S的最大值.

【答案】分析:(1)由兩直線相交可列出方程組,求出P點(diǎn)坐標(biāo);
(2)將y=0代入y=-x+4,可求出OA=4,作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=2,利用tan∠POA=,可知∠POA=60°,由OP=4.可知△POA是等邊三角形;
(3)①當(dāng)0<t≤4時(shí),在Rt△EOF中,∠EOF=60°,OE=t,則EF=,OF=,則S=•OF•EF=t2
②當(dāng)4<t<8時(shí),如圖,設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C,易知:CE=PE=t-4,AE=8-t,可得AF=4-,EF=(8-t),有OF=OA-AF=4-(4-)=,S=(CE+OF)•EF=-t2+4t-8
解答:解:(1)由題意可得:
解得
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2);

(2)將y=0代入y=-x+4,-x+4=0,
∴x=4,即OA=4,
作PD⊥OA于D,則OD=2,PD=2
∵tan∠POA==
∴∠POA=60°,
∵OP==4,
∴△POA是等邊三角形;

(3)①當(dāng)0<t≤4時(shí),如圖,在Rt△EOF中,
∵∠EOF=60°,OE=t,
∴EF=,OF=
∴S=•OF•EF=t2
當(dāng)4<t<8時(shí),如圖,設(shè)EB與OP相交于點(diǎn)C,
∵CE=PE=t-4,AE=8-t,
∴AF=4-,EF=(8-t),
∴OF=OA-AF=4-(4-)=
∴S=(CE+OF)•EF=(t-4+t)×(8-t),
=-t2+4t-8
②當(dāng)0<t≤4時(shí),S=,t=4時(shí),S最大=2
當(dāng)4<t<8時(shí),S=-t2+4t-8=-(t-2+
t=時(shí),S最大=
>2
∴當(dāng)t=時(shí),S最大,最大值為
點(diǎn)評(píng):把動(dòng)點(diǎn)問題與三角形的性質(zhì)相結(jié)合,增加了難度,在解答時(shí)要注意t在三個(gè)取值范圍內(nèi)的情況,不要漏解.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知,如圖,直線y=
3
3
x+
3
與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),⊙M經(jīng)過精英家教網(wǎng)原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn).
(1)求以O(shè)A、OB兩線段長(zhǎng)為根的一元二方程;
(2)C是⊙M上一點(diǎn),連接BC交OA于點(diǎn)D,若∠COD=∠CBO,寫出經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式;
(3)若延長(zhǎng)BC到E,使DE=2,連接EA,試判斷直線EA與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2002•岳陽)已知:如圖,直線MN和⊙O切于點(diǎn)C,AB是⊙O的直徑,AE⊥MN,BF⊥MN且與⊙O交于點(diǎn)G,垂足分別是E、F,AC是⊙O的弦,
(1)求證:AB=AE+BF;
(2)令A(yù)E=m,EF=n,BF=p,證明:n2=4mp;
(3)設(shè)⊙O的半徑為5,AC=6,求以AE、BF的長(zhǎng)為根的一元二次方程;
(4)將直線MN向上平行移動(dòng)至與⊙O相交時(shí),m、n、p之間有什么關(guān)系?向下平行移動(dòng)至與⊙O相離時(shí),m、n、p之間又有什么關(guān)系?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,直線y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A、B.
求:(1)這個(gè)函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)x=4時(shí),y的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)A,且與雙曲線y=
m
x
交于點(diǎn)B(4,2)和點(diǎn)C(n,-4). 
(1)求直線y=kx+b和雙曲線y=
m
x
的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出關(guān)于x的不等式kx+b<
m
x
的解集;
(3)點(diǎn)D在直線y=kx+b上,設(shè)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為t(t>0).過點(diǎn)D作平行于x軸的直線交雙曲線y=
m
x
于點(diǎn)E.若△ADE的面積為
7
2
,請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:如圖,直線a∥b,∠1=(2x+10)°,∠2=(3x-5)°,那么∠1=
80
80
°.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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