Question

已知AB與⊙O相切于點C，OA=OB，OA、OB與⊙O分別交于點D、E．
（I）如圖①，若⊙O的直徑為8，AB=10，求OA的長（結果保留根號）；
（II）如圖②，連接CD、CE，若四邊形ODCE為菱形，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，根據切線的性質得出OC⊥AB，再由勾股定理求得OA即可；
（2）根據菱形的性質，求得OD=CD，則△ODC為等邊三角形，可得出∠A=30°，即可求得的值．
解答：解：（1）如圖①，連接OC，則OC=4，
∵AB與⊙O相切于點C，∴OC⊥AB，
∴在△OAB中，由AO=OB，AB=10，
得AC=AB=5．
在Rt△AOC中，由勾股定理得OA===；

（2）如圖②，連接OC，則OC=OD，
∵四邊形ODCE為菱形，∴OD=CD，
∴△ODC為等邊三角形，有∠AOC=60°．
由（1）知，∠OCA=90°，∴∠A=30°，
∴OC=OA，∴=．
點評：本題考查了切線的性質和勾股定理以及直角三角形、菱形的性質，是一道綜合題，要熟練掌握．