Question

如圖，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，點D在AC上，將△ABD繞頂點B沿順時針方向旋轉90°后得到△CBE．
（1）求∠DCE的度數；
（2）當AB=4，AD：DC=1：3時，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意我們知道∠A+∠C=90°，那么我們只要通過全等三角形來得出∠BCE=∠A，就能得出∠DCE=90°的結論，那么關鍵就是證明三角形ADB和CBE全等，根據題意我們知三角形CBE是由三角形ABD旋轉得來，根據旋轉的性質我們可得出兩三角形全等．
（2）由（1）可得出三角形DEC是個直角三角形，要求DE的長，就必須求出CD和CE，由（1）可知AD=CE，那么就必須求出AD和DC的長，有AD，CD的比例關系，那么求出AC就是關鍵．直角三角形ABC中，AB=AC，有AB的長，進而可得AC的值．
解答：解：（1）∵△CBE是由△ABD旋轉得到的，
∴△ABD≌△CBE，
∴∠A=∠BCE=45°，
∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°．

（2）在等腰直角三角形ABC中，
∵AB=4，∴AC=4，
又∵AD：DC=1：3，
∴AD=，DC=3．
由（1）知AD=CE且∠DCE=90°，
∴DE²=DC²+CE²=2+18=20，
∴DE=2．
點評：本題考查了全等三角形的判定，本題中利用全等三角形得出線段和角相等是解題的關鍵．