Question

如圖，已知⊙O的半徑為6cm，射線PM經過點O，OP=10cm，射線PN與⊙O相切于點Q．A，B兩點同時從點P出發，點A以5cm/s的速度沿射線PM方向運動，點B以4cm/s的速度沿射線PN方向運動．設運動時間為ts．

（1）求PQ的長；

（2）當t為何值時，直線AB與⊙O相切？

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OQ，

∵PN與⊙O相切于點Q，∴OQ⊥PN，即∠OQP=90°.

∵OP=10，OQ=6，∴PQ==8（cm）．

（2）過點O作OC⊥AB，垂足為C.

∵點A的運動速度為5cm/s，點B的運動速度為4cm/s，運動時間為ts，

∴PA=5t，PB=4t.

∵PO=10，PQ=8，∴.

∵∠P=∠P，∴△PAB∽△POQ.∴∠PBA=∠PQO=90°.

∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，∴四邊形OCBQ為矩形．∴BQ=OC．

∵⊙O的半徑為6，∴BQ=OC=6時，直線AB與⊙O相切．

①當AB運動到如圖1所示的位置，BQ=PQ－PB=8－4t，

∵BQ=6，∴8－4t=6.∴t=0.5（s）．

②當AB運動到如圖2所示的位置，BQ=PB﹣PQ=4t－8，

∵BQ=6，∴4t－8=6.∴t=3.5（s）．

∴當t為0.5s或3.5s時直線AB與⊙O相切．

【解析】（1）根據切線的性質得∠OQP=90°，在直角△OPQ中根據勾股定理就可以求出PQ的值；（2）過點O作OC⊥AB，垂足為C．直線AB與⊙O相切，則△PAB∽△POQ，根據相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出t的值．