Question

【題目】如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點為D，其圖象與x軸的交點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸負半軸交于點C．

（1）若△ABD為等腰直角三角形，求此時拋物線的解析式；
（2）a為何值時△ABC為等腰三角形？
（3）在（1）的條件下，拋物線與直線y= x﹣4交于M、N兩點（點M在點N的左側），動點P從M點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點N，若使點P運動的總路徑最短，求點P運動的總路徑的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵△ABD是等腰直角三角形，

∴過點D作直線l∥y軸，直線l與x軸交于點I．

∴AI=ID=IB= AB=2，

∴D（1，﹣2），

∴設y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a，

∴a﹣2a﹣3a=﹣2，

∴a= ，

∴y= x2﹣x﹣ ，

（2）

解：∵△ABC為等腰三角形，

∴①AB=BC=4，

∴OC= = ，

∴﹣3a=﹣ ，

∴a= ，

②AB=AC=4，

∴OC= = ，

∴C（0，﹣ ），

∴﹣3a=﹣ ，

∴a=

（3）

解：如圖2，

∵拋物線與直線y= x﹣4交于M、N兩點，

∴ ，

∴ ， ，

∴M（2，﹣ ），N（ ，﹣ ）．

作點M關于對稱軸l的對稱點G，

點N關于x軸的對稱點H，

連接GH交l于E，x軸于F，

∴EM=EH，FN=FH

∴點P運動的總路徑為GH，

∵G（0，﹣ ），H（ ， ），

∴GH=

【解析】（1）由△ABD是等腰直角三角形確定出D（1，﹣2），用待定系數法確定出函數關系式；（2）由△ABC為等腰三角形，利用勾股定理求出a即可；（3）由于拋物線與直線y= x﹣4交于M、N兩點，先求出M，N的坐標，利用對稱性求出點G，H的坐標即可．