Question

如圖，△ABC中．D、E分別是邊BC、AB上的點，且∠1=∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周長依次是m、m₁、m₂，證明：

m1+m2

m

≤

5

4

．

Answer 1

分析：設BC=a，AC=b，由∠1=∠2=∠3，得到△ABC∽△EBD∽△DAC，通過相似比得到DC=

b2

a

，BD=BC-DC=a-

b2

a

=

a2-b2

a

，則

m1

m

=

BD

BC

=

a2-b2

a2

，

m2

m

=

AC

BC

=

b

a

，得到∴

m1+m2

m

=

a2-b2

a2

+

b

a

=-（

b

a

-

1

2

）²+

5

4

．即可得到結論．

解答：解：設BC=a，AC=b，∵∠1=∠2=∠3，
∴△ABC∽△EBD∽△DAC，
∴

DC

AC

=

AC

BC

，
∴DC=

b2

a

，BD=BC-DC=a-

b2

a

=

a2-b2

a

，
∵

m1

m

=

BD

BC

=

a2-b2

a2

，

m2

m

=

AC

BC

=

b

a

，
∴

m1+m2

m

=

a2-b2

a2

+

b

a

=-（

b

a

-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：有兩個角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等，周長的比等于相似比．也考查了用配方法求最值．