Question

（2005•江西）已知拋物線y=-（x-m）²+1與x軸的交點為A、B（B在A的右邊），與y軸的交點為C．
（1）寫出m=1時與拋物線有關的三個正確結論；
（2）當點B在原點的右邊，點C在原點的下方時，是否存在△BOC為等腰三角形的情形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（3）請你提出一個對任意的m值都能成立的正確命題（說明：根據提出問題的水平層次，得分略有差異）．

Answer 1

【答案】分析：（1）將m=1代入y=-（x-m）²+1化簡可得拋物線的解析式為y=-x²+2x；
（2）存在．令y=0時得出（x-m）²=1得出A，B的坐標．令x=0時得出點C在原點下方得出OC=m²-1，求出m的實際值；
（3）已知拋物線y=-（x-m）²+1，根據m值的不同分情況解答．
解答：解：（1）當m=1時，拋物線的解析式為y=-x²+2x．
正確的結論有：
①拋物線的解析式為y=-x²+2x；
②開口向下；
③頂點為（1，1）；④拋物線經過原點；
⑤與x軸另一個交點是（2，0）；
⑥對稱軸為x=1；等（3分）
說明：每正確寫出一個得一分，最多不超過（3分）．

（2）存在．
當y=0時，-（x-m）²+1=0，即有（x-m）²=1．
∴x₁=m-1，x₂=m+1．
∵點B在點A的右邊，
∴A（m-1，0），B（m+1，0）（4分）
∵點B在原點右邊
∴OB=m+1
∵當x=0時，y=1-m²，點C在原點下方
∴OC=m²-1．（5分）
當m²-1=m+1時，m²-m-2=0
∴m=2或m=-1（因為對稱軸在y軸的右側，m＞0，所以不合要求，舍去），
∴存在△BOC為等腰三角形的情形，此時m=2．（7分）

（3）如①對任意的m，拋物線y=-（x-m）²+1的頂點都在直線y=1上；
②對任意的m，拋物線y=-（x-m）²+1與x軸的兩個交點間的距離是一個定值；
③對任意的m，拋物線y=-（x-m）²+1與x軸兩個交點的橫坐標之差的絕對值為2．
點評：本題考查的是二次函數的綜合運用，考生要注意的是要分情況解答未知數，難度中上．