Question

如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，若PA⊥AB，PO過AC的中點M．
（Ⅰ）求證：PC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若∠CAB=30°，⊙O的半徑為2，求劣弧的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，則∠PAO=90°，根據角平分線定義得∠AOP=∠COP，可證明△PAO≌△PCO，則∠PCO=∠PAO，則可得出PC是⊙O的切線．
（2）由等邊對等角得∠CAB=∠OCA，根據弧長公式可得出答案．
解答：（1）證明：連接OC，
∵PA⊥AB，∴∠PAO=90°
∵PO平分∠AOC，∴∠AOP=∠COP，
∴△PAO與△PCO中有，OA=OC，∠AOP=∠COP，PO=PO，
∴△PAO≌△PCO，
∴∠PCO=∠PAO，
即PC是⊙O的切線．

（2）解：∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA=30°，
∴∠AOC=180°-（∠CAB+∠OCA）=120°．
∴劣弧的長==π．
點評：本題考查了弧長的計算、切線的判定以及全等三角形的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握．