Question

如圖，已知?ABCD的對角線AC、BD交于O，且∠1=∠2．
（1）求證：?ABCD是菱形；
（2）F為AD上一點，連結BF交AC于E，且AE=AF，求證：AO=（AF+AB）．

Answer 1

解：（1）證明：∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠2=∠ACB，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠ACB
∴AB=BC，
∴?ABCD是菱形；

（2）∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFE=∠EBC，
又∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF=∠BEC，
∴∠EBC=∠BEC，
∴BC=CE，
∴AC=AE+CE=AF+BC=2OA，
∴OA=（AF+BC），
又∵AB=BC，
∴OA=（AF+AB）．
分析：（1）利用平行線的性質以及等角對等邊即可證得AB=BC，則依據菱形的定義即可判斷；
（2）首先證明△BCE是等腰三角形，然后依據平行四邊形的對角線互相平分即可證得．
點評：本題考查了菱形的定義，以及等腰三角形的性質及判定方法，正確證明△BCE是等腰三角形是關鍵．