Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知直線AC的解析式為y=-x+2，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A．
（1）若一個等腰直角三角形OBD的頂點D與點C重合，直角頂點B在第一象限內，請直接寫出點B的坐標；
（2）過點B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點P，使得△AOP的周長最小？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）試在直線AC上求出到兩坐標軸距離相等的所有點的坐標．

Answer 1

解：（1）∵直線AC的解析式為y=-x+2，直線AC交x軸于點C，交y軸于點A，
∴A（0，2），C（4，0），
∴OC=4，
∵三角形OBD是等腰直角三角形，
∴B（2，2）；

（2）∵等腰三角形OBD是軸對稱圖形，對稱軸是l
∴點O與點C關于直線l對稱，
∴直線AC與直線l的交點即為所求的點P，
把x=2代入y=-x+2，得y=1，
∴點P的坐標為（2，1）；

（3）設滿足條件的點Q的坐標為（m，m+2），
由題意得m+2=m或m+2=-m，
解得m=或m=-4，
∴點Q的坐標為（，）或（-4，4）．
分析：（1）首先根據直線AC的解析式即可求出A、C兩點坐標，也就求出了OA、OC的長度，而三角形OBD是等腰直角三角形OBD，接著利用勾股定理和等腰直角三角形即可求出B的坐標；
（2）由于等腰三角形OBD是軸對稱圖形，對稱軸是l，因此得到點O與點C關于直線l對稱，所以得到直線AC與直線l的交點即為所求的點P，把x=2代入y=-x+2即可求出P的坐標；
（3）可以設滿足條件的點Q的坐標為（m，m+2），然后根據到兩坐標軸距離相等可以列出方程，然后解方程即可求出m．
點評：本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，題中運用等腰直角三角形的性質及直線上的點的坐標特點以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．