Question

如圖，拋物線y=ax²-2x+c經過直線y=x-3與坐標軸的兩個交點A、B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）⊙M是過A、B、C三點的圓，連接MC、MB、BC，求劣弧CB的長；（結果用精確值表示）
（3）點P為拋物線上的一個動點，求使S_△APC：S_△ACD=5：4的點P的坐標．（結果用精確值表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）可先根據直線的解析式求出A、B兩點的坐標，然后將兩點的坐標代入拋物線中即可得出拋物線的解析式．
（2）求弧長需要知道兩個條件：圓的半徑和弧所對的圓心角，圓心角可通過求∠OAB的度數來得出．而半徑的長可通過∠CMB的度數和BC的長來求出．然后根據弧長計算公式即可得出劣弧CB的長．
（3）可先求出△ACD的面積，然胡根據兩三角形的面積比求出△APC的面積．△APC中，AC的長為定值，因此可根據△APC的面積求出P點的縱坐標的絕對值，然后將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標．
解答：解：（1）把x=0和y=0分別代入y=x-3，
得當x=0時，y=-3；
當y=0時，x=3．
∴A（3，0），B（0，-3）．
把x=0時，y=-3；當y=0時，x=3代入y=ax²-2x+c，
得，
解得：，
∴y=x²-2x-3．

（2）當y=0時，x²-2x-3=0，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴C（-1，0）
∴AC=4，BC=．
∵OA=OB=3，
∴∠CAB=45°，
∴∠CMB=90度．
∴MB=MC=
∴的長是π．

（3）∵y=x²-2x-3的對稱軸是x=-=1，
當x=1時，y=-4，
∴D（1，-4）．
∴S_△ACD=×4×4=8，
∴S_△APC=10．
設存在點P（x，y），
∴|y|=5．
∴y=5時，x²-2x-3=5，
解得x₁=4，x₂=-2，
當y=-5時，P點不在拋物線上，
∴P₁（4，5），P₂（-2，5）．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圓周角定理、弧長的計算公式等知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．