Question

2007年4月23日，恩施清江鳳凰大橋建成通車．鳳凰大橋是八百里清江上一座集公路交通和城市景觀于一體的中承式鋼筋混凝土拱橋，主橋上的橋拱在空中劃出一道優美的弧線，遠遠望去像是一彎彩虹橫臥于清波之上（如圖）．大橋上的橋拱是拋物線的一部分，位于橋上方部分的拱高約為18米，跨度約為112米．
（1）請你建立恰當的平面直角坐標系，求出可以近似描述主橋上的橋拱形狀的解析式；
（2）求距離橋面中心點28米處垂直支架的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）解決實際問題中的拋物線問題，一般需要建立適當坐標系來解決，本題可以以拋物線對稱軸為y軸，水平跨度為x軸，建立坐標系，可設拋物線的解析式為y=ax²+c，根據已知確定頂點M（0，18），及點（56，0），拋物線解析式可求；
（2）實際上是求橫坐標為28或者-28時，拋物線上點的縱坐標值．
解答：解：（1）如圖，建立平面直角坐標系．
根據題意可知，橋拱頂點M的坐標為（0，18），
橋拱與橋面的交點坐標分別為
（-56，0），（56，0）
設拋物線的解析式為y=ax²+c
把（0，18），（56，0）代入，得
解得：
所以主橋上橋拱形狀的解析式為y=-x²+18；

（2）設距離橋面中心點28米處垂直支架的長度等于h米，
那么距離橋面中心點28米處的點的坐標為（-28，h）或（28，h）
把（28，h）代入y=-x²+18中，
得h=13.5
所以在距離橋面中心點28米處的垂直支架的長度為13.5米．
點評：本題考查建立適當坐標系解決拋物線的問題的方法、點的坐標的求法及二次函數的實際應用．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．